Каталог по темам

Задачи

Страница: << 130 131 132 133 134 135 136 >> [Всего задач: 1032]

Задача 73834

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Метод спуска	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10

Автор: Васильев Н.Б.

При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?
(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 55659

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Автор: Тебо В.

Пусть A₁, B₁ и C₁ — основания высот AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB₁C₁, BA₁C₁ и CA₁B₁ пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 58109

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Свойства параллельного переноса	]
	[	Площадь параллелограмма	]
	[	Покрытия	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков (отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.

Прислать комментарий Решение

Задача 58134

Темы:	[	Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Площадь многоугольника	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.

Прислать комментарий Решение

Задача 110755

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]
	[	Композиция центральных симметрий	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O . Точки C' , D' симметричны ортоцентрам треугольников ABD и ABC относительно O . Докажите, что если прямые BD и BD' симметричны относительно биссектрисы угла B , то прямые AC и AC' симметричны относительно биссектрисы угла A .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 130 131 132 133 134 135 136 >> [Всего задач: 1032]