Подтемы:
- Пятиугольники (92 задачи)
- Шестиугольники (88 задач)
- Правильные многоугольники (181 задача)
- Сумма внутренних и внешних углов многоугольника (77 задач)
- Вписанные и описанные многоугольники (73 задачи)
- Произвольные многоугольники (30 задач)
- Теорема Паскаля (20 задач)
- Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках (3 задачи)
- Многоугольники (прочее) (36 задач)
Фильтр
Выбрана 21 задача Убрать все задачи
Дан выпуклый пятиугольник. Каждая диагональ отсекает от него треугольник. Докажите, что сумма площадей треугольников больше площади пятиугольника.
Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый – на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?
Вписанная окружность прямоугольного треугольника АВС (угол С – прямой) касается сторон АВ, ВС и СА в точках С1, А1, В1 соответственно. Высоты треугольника А1В1С1 пересекаются в точке D. Найдите расстояние между точками C и D, если длины катетов треугольника АВС равны 3 и 4.
Медианы треугольника равны 5, 6 и 5. Найдите площадь треугольника.
В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки Ib и Ic – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LIbIc.
Отличник Поликарп составлял максимальное пятизначное число, которое состоит из различных нечётных цифр. Двоечник Колька составлял минимальное пятизначное число, которое состоит из различных чётных цифр. Какие числа должны были составить Поликарп и Колька?
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.
На Солнечном острове живет 20 белых и 25 чёрных хамелеонов (хамелеоны – это животные, умеющие менять свой цвет). При встрече оба хамелеона меняют свой цвет на противоположный. Могут ли все хамелеоны окраситься в один цвет?
Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$, такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$. Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$. Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$.
Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?
Три купчихи — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоем 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна — 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Докажите, что их линия центров параллельна данной прямой.
Пусть M и N – середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC соответственно. Вневписанная окружность треугольника ACM касается стороны AM в точке Q, а прямой AC – в точке P. Докажите, что точки P, Q и N лежат на одной прямой.
Правильный многоугольник A1...An вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что A1X² + ... + AnX² = n(R² + d²), где d = OX.
На гипотенузе LM прямоугольного треугольника LKM лежит
точка N. На прямой LM взята точка P так, что точка M находится
между точками N и P, а угол NKP — прямой. Найдите площадь
треугольника NKM, если известно, что
LKP =
,
а площади треугольников LKM и NKP равны a и b соответственно.
Когда "послезавтра" станет "вчера", то "сегодня" будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был "сегодня", когда "вчера" было "завтра". Как вы думаете, какой сегодня день недели?
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника ABC.
Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
Во вписанном пятиугольнике отметили середины четырех сторон, после чего сам пятиугольник стерли. Восстановите его.
В прямоугольном треугольнике ABC точка C0 – середина гипотенузы AB, AA1, BB1 – биссектрисы, I – центр вписанной окружности.
Докажите, что прямые C0I и A1B1 пересекаются на высоте CH.
Сумма углов n-угольника.
Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.
Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике
равна (n - 2).
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 508]
Задача 57066 |
|
|
Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он
правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.
|
|
Решение |
Задача 57070 |
|
|
Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?
|
|
Решение |
Задача 57079 |
|
|
Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1...X10, а точка B — вне его. Пусть a = + ... +
и b =
+ ... +
.
Может ли оказаться, что |a| > |b| ?
|
|
|
Решение |
Задача 57080 |
|
|
Правильный многоугольник A1...An вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что A1X² + ... + AnX² = n(R² + d²), где d = OX.
|
|
|
Решение |
Задача 60328 |
|
|
Сумма углов n-угольника.
Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.
Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике
равна (n - 2).
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 508]
