Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Теория чисел. Делимость >> Простые числа и их свойства
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 33 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А.

Вниз   Решение

Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если  AB = c,  AM = m  и  AN = n.

ВверхВниз   Решение

В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.

ВверхВниз   Решение

Автор: Швецов Д.В.

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H1, B1 соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H2, B2 соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H1BH2. Докажите, что  OB1 = OB2.

ВверхВниз   Решение

Автор: Кноп К.А.

В стране 64 города, некоторые пары из них соединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно. Можно выбрать любую пару городов и получить ответ на вопрос “есть ли дорога между ними?”. Нужно узнать, можно ли в этой стране добраться от любого города до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего сделать это менее чем за 2016 вопросов.

ВверхВниз   Решение

Полуокружность с диаметром AD касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке М (см. рисунок).
Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

ВверхВниз   Решение

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F0 + F1x + F2x² + ... + Fnxn + ...

может быть записана в виде     где   = ,  = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

ВверхВниз   Решение

Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

ВверхВниз   Решение

Автор: Казицына Т.В.

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

ВверхВниз   Решение

Точка D – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC,  ∠ВАС = 35°.  Точка B1 симметрична точке B относительно прямой СD.
Найдите угол AB1C.

ВверхВниз   Решение

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

ВверхВниз   Решение

В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5.

ВверхВниз   Решение

Существует ли прямоугольный треугольник, у которого длины двух сторон – целые числа, а длина третьей стороны равна   ?

ВверхВниз   Решение

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет $ {\frac{2}{3}}$ л и $ {\frac{1}{3}}$ л с точностью до 1 миллилитра.

ВверхВниз   Решение

На плоскости отмечено 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что никакая тройка отрезков не образует треугольника. Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено?

ВверхВниз   Решение

Международная комиссия состоит из девяти человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее шести членов комиссии?

ВверхВниз   Решение

Прямая, перпендикулярная гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС, пересекает прямые АС и ВС в точках Е и D соответственно.
Найдите угол между прямыми AD и ВЕ.

ВверхВниз   Решение

В некоторой стране каждые два города соединены либо авиалинией, либо железной дорогой. Докажите, что
  а) можно выбрать вид транспорта так, чтобы от каждого города можно было добраться до любого другого, пользуясь только этим видом транспорта;
  б) из некоторого города, выбрав один из видов транспорта, можно добраться до любого другого города не более чем с одной пересадкой (пользоваться можно только выбранным видом транспорта);
  в) каждый город обладает свойством из пункта б);
  г) можно выбрать вид транспорта так, чтобы пользуясь только им, можно было добраться из каждого города до любого другого не более чем с двумя пересадками.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Найти количество нечётных чисел в n-й строке треугольника Паскаля.

ВверхВниз   Решение

Какое наименьшее число карточек спортлото (6 из 49) надо купить, чтобы наверняка хоть в одной из них был угадан хоть один номер?

ВверхВниз   Решение

Не встречается ли
   а) в 100-й строке треугольника Паскаля число  1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99?
   б) в 200-й строке сумма квадратов чисел, стоящих в 100-й строке?

ВверхВниз   Решение

В столовой предложено на выбор шесть блюд. Каждый день Вася берёт некоторый набор блюд (возможно, не берет ни одного блюда), причём этот набор блюд должен быть отличен от всех наборов, которые он брал в предыдущие дни. Какое наибольшее количество дней Вася сможет питаться по таким правилам и какое количество блюд он в среднем при этом будет съедать за день?

ВверхВниз   Решение

На плоскости нарисовано несколько точек, некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что из каждой точки выходит не более k отрезков. Докажите, что точки можно покрасить в  k + 1  цвет таким образом, чтобы каждые две точки, соединенные отрезком, были покрашены в разные цвета.

ВверхВниз   Решение

Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {an} равенствами

a0 = a,        an + 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$an + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$    (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

$\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right)^{2^n}_{}$.


ВверхВниз   Решение

Автор: Петров Ф.

В стране есть  n > 1  городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиарейсами. При этом между каждыми двумя городами существует единственный авиамаршрут (возможно, с пересадками). Мэр каждого города X подсчитал количество таких нумераций всех городов числами от 1 до n, что на любом авиамаршруте, начинающемся в X, номера городов идут в порядке возрастания. Все мэры, кроме одного, заметили, что их результаты подсчётов делятся на 2016. Докажите, что и у оставшегося мэра результат также делится на 2016.

ВверхВниз   Решение

На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?

ВверхВниз   Решение

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.
Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

ВверхВниз   Решение

К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи 9.46, если в качестве начального условия выбрать x1 = - 1?

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

a1, a2, ..., a101  – такая перестановка чисел  2, 3, ..., 102,  что ak делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.

ВверхВниз   Решение

Имеются четыре гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями, если
  а) гири можно класть только на одну чашку весов;
  б) гири можно класть на обе чашки весов?

ВверхВниз   Решение

Автор: Черепанов Е.

Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M.
Какое наибольшее число элементов может быть в M?

ВверхВниз   Решение

Пусть p – простое число и  p > 3.
  а) Докажите, что если разрешимо сравнение  x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то  p ≡ 1 (mod 6).
  б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  6k + 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 201]      

  с решениями  

Задача 60508

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Докажите, что число  22n – 1  имеет по крайней мере n различных простых делителей.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60722

 [Теорема Клемента]
Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что числа p и  p + 2  являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60740

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором  ak ≡ 1 (mod p).  Докажите, что  p – 1  делится на k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60756

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и  p > 3.
  а) Докажите, что если разрешимо сравнение  x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то  p ≡ 1 (mod 6).
  б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  6k + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60757

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и  p > 5.  Докажите, что если разрешимо сравнение  x4 + x3 + x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то   p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  5n + 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 201]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .