Точки A, B и C лежат на одной прямой (точка B расположена между точками A и C). Через точки A и B проводятся окружности, а через точку C — касательные к ним. Найдите геометрическое место точек касания.

   Решение

В стране несколько городов (больше одного); некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой, проезжая по нескольким дорогам. Кроме того, дороги не образуют циклов, то есть если выйти из некоторого города по какой-то дороге и далее двигаться так, чтобы не проходить по одной дороге дважды, то невозможно возвратиться в начальный город. Докажите, что в этой стране найдутся хотя бы два города, каждый из которых соединен дорогой ровно с одним городом.

   Решение

В секретной службе работают n агентов – 001, 002, ..., 007, ..., n. Первый агент следит за тем, кто следит за вторым, второй – за тем, кто следит за третьим, и т.д., n-й – за тем, кто следит за первым. Докажите, что n – нечётное число.

   Решение

Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

   Решение

На сфере радиуса 11 расположены точки A , A1 , B , B1 , C и C1 . Прямые AA1 , BB1 и CC1 попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M , отстоящей от центра сферы на расстояние . Найдите AA1 , если известно, что BB1=18 , а точка M делит отрезок CC1 в отношении (8 + ):(8 - ) .

   Решение

При каких значениях x и y верно равенство  x² + (1 – y)² + (x – y)² = ⅓?

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если на плоскости отмечены три точки: O — центр описанной окружности, P — точка пересечения медиан и H — основание одной из высот этого треугольника.

   Решение

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

   Решение

На одной из сторон угла взяты две точки A и B. Найдите на другой стороне угла точку C такую, чтобы угол ACB был наибольшим. Постройте точку C с помощью циркуля и линейки.

   Решение

Докажите, что если  ^P_n/_Qn  (n ≥ 1)  – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств     или     Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^p/_q, что  |α – ^p/_q| < ¹/_2q².

   Решение

Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч OA совмещается с лучом OC, а луч OB – с OD. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и F. Доказать, что углы AOE и DOF равны.

   Решение

Ася и Вася вырезают прямоугольники из клетчатой бумаги. Вася ленивый; он кидает игральную кость один раз и вырезает квадрат, сторона которого равна выпавшему числу очков. Ася кидает кость дважды и вырезает прямоугольник с длиной и шириной, равными выпавшим числам. У кого математическое ожидание площади прямоугольника больше?

   Решение

Докажите, что корни уравнения
  а)  (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) = 0;
  б)  c(x – a)(x – b) + a(x – b)(x – c) + b(x – a)(x – c) = 0
всегда вещественные.

   Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 258]      

Докажите, что если  ^P_n/_Qn  (n ≥ 1)  – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств     или     Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^p/_q, что  |α – ^p/_q| < ¹/_2q².

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что корни уравнения
  а)  (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) = 0;
  б)  c(x – a)(x – b) + a(x – b)(x – c) + b(x – a)(x – c) = 0
всегда вещественные.

Прислать комментарий

Решение

При каких значениях x и y верно равенство  x² + (1 – y)² + (x – y)² = ⅓?

Прислать комментарий

Решение

Ася и Вася вырезают прямоугольники из клетчатой бумаги. Вася ленивый; он кидает игральную кость один раз и вырезает квадрат, сторона которого равна выпавшему числу очков. Ася кидает кость дважды и вырезает прямоугольник с длиной и шириной, равными выпавшим числам. У кого математическое ожидание площади прямоугольника больше?

Прислать комментарий

Решение

В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 258]