Каталог по темам

Выбрано 24 задачи

а) sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /8;
б) cos( $\alpha$ /2)cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2) $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /8.

Решение

При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m² + 4m³ + 5m⁴ + 4m⁵ + 3m⁶ + 2m⁷ + m⁸ является квадратом целого числа?

Решение

Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Решение

Автор: Кунгожин М.

Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая CH пересекает полуокружность с диаметром AB, проходящую через точки A₁ и B₁, в точке D. Отрезки AD и BB₁ пересекаются в точке M, BD и AA₁ – в точке N. Докажите, что описанные окружности треугольников B₁DM и A₁DN касаются.

Решение

На основаниях трапеции как на сторонах построены во внешнюю сторону два квадрата. Докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Решение

Дан прямоугольный треугольник. Впишите в него прямоугольник с общим прямым углом, у которого диагональ минимальна.

Решение

В корзине лежало не более 70 грибов, среди которых 52% – белые. Если выкинуть три самых маленьких гриба, то белых станет половина.
Сколько грибов в корзине?

Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём MN || BC. На отрезке MN взята точка P, причём MP = ¹/₃ MN. Прямая AP пересекает сторону BC в точке Q. Докажите, что BQ = ¹/₃ BC.

Решение

Автор: Акопян Э.

В начале года в 7 классе учились 25 человек. После того как туда пришли семеро новеньких, процентный состав отличников увеличился на 10 (если в начале года он был a%, то теперь – (a + 10)%). Сколько теперь отличников в классе?

Решение

Шестиугольник ABCDEF — вписанный, причём AB || DE и BC || EF. Докажите, что CD || EF.

Решение

Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.

Решение

Две стороны треугольника равны 2 $\sqrt{2}$ и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.

Решение

Автор: Заславский А.А.

Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за июль, на сколько – за август, и на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть если он предсказывал, что курс увеличится на $x\%$, то курс падал на $x\%$, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Решение

Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.

Решение

Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMCD.

Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC, площадь которого равна 36 см², взяты соответственно точки M и K так, что AM/MB = 1/3, а AK/KC = 2/1. Найдите площадь треугольника AMK.

Решение

Автор: Лопшиц А.Л.

Разделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (см. рис.). Докажите, что площадь "среднего" четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника ABCD.

Решение

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P – произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁, прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что
а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (обозначим её через Q);
б) точка M лежит на отрезке PQ, причём PM : MQ = 1 : 2.

Решение

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF противоположные стороны попарно параллельны (AB || DE, BC || EF, CD || FA), а также AB = DE.
Докажите, что BC = EF и CD = FA.

Решение

Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждёт 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.
а) Какова вероятность того, что они встретятся?
б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему – между полуднем и часом?
в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Имелось 2016 чисел, ни одно из которых не равно нулю. Для каждой пары чисел записали их произведение.
Докажите, что среди выписанных произведений не менее трети положительны.

Решение

Пусть H - точка пересечения высот в треугольнике ABC. Докажите, что если провести прямые, симметричные прямым AH, BH, CH относительно биссектрис углов A, B, C, то эти прямые пересекутся в центре O описанной окружности треугольника ABC.

Решение

а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см?
б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы всё же изготовить требуемый каркас?

Решение

За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если
а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?
б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?

Решение

Задача 61343

Задача 64307

Задача 64312

Задача 64381

Задача 64692