Подтемы:
- Классическая комбинаторика (502 задачи)
- Треугольник Паскаля и бином Ньютона (107 задач)
- Производящие функции (20 задач)
- Числа Каталана (12 задач)
- Теория графов (384 задачи)
- Комбинаторика (прочее) (46 задач)
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.
Прямоугольники P и Q равновелики, но у P диагональ больше. Двумя копиями P можно накрыть Q. Докажите, что двумя копиями Q можно накрыть P.
а) Доказать, что для любых положительных чисел x1, x2, ..., xk (k > 3) выполняется неравенство:
б) Доказать, что это неравенство ни для какого k > 3 нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.
Из полного 100-вершинного графа выкинули 98 рёбер. Доказать, что он остался связным.
В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше 1,002 г.
Докажите, что весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы они показали разность, не превосходящую 1 г.
В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. От трапеции остались: вершина $A$, центр вписанной окружности $I$, описанная окружность $\omega$ и ее центр $O$. Восстановите трапецию с помощью одной лишь линейки.
На конференции присутствуют 50 учёных, каждый из которых знаком по крайней мере с 25 участниками конференции.
Докажите, что найдутся четверо из них, которых можно усадить за круглый стол так, чтобы каждый сидел рядом со знакомыми ему людьми.
Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.
Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.
Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 ≤ 1/r, где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.
Какое слагаемое в разложении (1 + )100 по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?
Докажите, что тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида
(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри здесь.)
Задачи Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1008]
Задача 60452[Рекуррентное соотношение для чисел Каталана] |
|
|
Докажите, что числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению
Cn = C0Cn–1 + C1Cn–2 + ... + Cn–1C0.
Определение чисел Каталана Cn смотри в справочнике.
|
|
Решение |
Задача 60671 |
|
|
Докажите, что если p – простое число, то (a + b)p – ap – bp делится на p при любых целых a и b.
|
|
|
Решение |
Задача 61420 |
|
|
Докажите, что тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида
(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри здесь.)
|
|
Решение |
Задача 61507[Производящие функции многочленов Чебышева] |
|
|
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
|
|
|
Решение |
Задача 61525 |
|
|
Обозначим через Pk,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
а) Pk,l(n) – Pk,l–1(n) = Pk–1,l(n – l);
б) Pk,l(n) – Pk–1,l(n) = Pk,l–1(n – k);
в) Pk,l(n) = Pl,k(n);
г) Pk,l(n) = Pk,l(kl – n).
|
|
|
Решение |
Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1008]
