ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Комбинаторика >> Производящие функции
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Шаповалов А.В.

Остроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника.
Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.

Вниз   Решение

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями BC и AD , причём BC=2AD . На рёбрах SA и SB взяты точки K и L , причём 2SK=KA и 3SL = LB . В каком отношении плоскость KLC делит ребро SD ?

ВверхВниз   Решение

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что ($ \overrightarrow{AB}$,$ \overrightarrow{CD}$) + ($ \overrightarrow{BC}$,$ \overrightarrow{AD}$) + ($ \overrightarrow{CA}$,$ \overrightarrow{BD}$) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Автор: Казицына Т.В.

Таня вырезала из клетчатой бумаги треугольник, изображённый на рисунке. Через некоторое время линии сетки выцвели. Сможет ли Таня их восстановить, не пользуясь никакими инструментами, а только перегибая треугольник? (Длины сторон треугольника Таня помнит.)

ВверхВниз   Решение

На каждой из клеток доски размером 9×9 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?

ВверхВниз   Решение

Художник-авангардист нарисовал картину "Контур квадрата и его диагонали".
Мог ли он нарисовать свою картину, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды?

ВверхВниз   Решение

Среди поля проходит прямая дорога, по которой со скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки на поле, из которых можно догнать автобус, если бежать с такой же скоростью.

ВверхВниз   Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что $ \overrightarrow{OH}$ = $ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$. Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Васильев М.

В треугольнике ABC на сторонах AC, BC и AB отметили точки D, E и F соответственно, так, что  AD = AB,  EC = DC,  BF = BE.  После этого стёрли всё, кроме точек E, F и D. Восстановите треугольник ABC.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что OH2 = R2(1 - 8 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$).

ВверхВниз   Решение

Авторы: Блинков А.Д., Шноль Д.Э.

Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось Ox в точках A и M, а ось Oy – в точке C. График другого пересекает ось Ox в точках B и M, а ось Oy – в точке D. (O – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники AOC и BOD подобны.

ВверхВниз   Решение

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

Определения многочленов Чебышева можно найти в справочнике.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

  с решениями  

Задача 61507

 [Производящие функции многочленов Чебышева]
Темы:   [ Производящие функции ]
[ Многочлены Чебышева ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

Определения многочленов Чебышева можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97910

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., n.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61493

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть an – число решений уравнения  x1 + ... + xk = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
  б) Найдите формулу для an, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61504

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)

б) Пользуясь этой функцией, выразите Ln через φ и (см. задачу 61502).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61506

 [Производящие функции многочленов Фибоначчи и Люка]
Темы:   [ Производящие функции ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи  F(x, z) = F0(x) + F1(x)z + F2(x)z² + ... + Fn(x)zn + ...
и последовательности многочленов Люка   L(x, z) = L0(x) + L1(x)z + L2(x)z² + ... + Ln(x)zn + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .