Версия для печати
Убрать все задачи
Три последовательных угла вписанного четырёхугольника
относятся как 1:2:3. Найдите все углы четырёхугольника.
Решение
Метод итераций.
Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись
f (
x) =
x, применяется метод итераций. Сначала выбирается
некоторое число
x0, а затем строится последовательность
{
xn} по правилу
xn + 1 =
f (
xn)
(
n 
0). Докажите, что
если эта последовательность имеет предел
x* =
xn, и функция
f (
x) непрерывна, то
этот предел является корнем исходного уравнения:
f (
x*) =
x*.
Решение
Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.
Решение
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?
Решение
Точки
A,
B и
C расположены на одной прямой. Через точку
B
проходит некоторая прямая. Пусть
M - произвольная точка на этой
прямой. Докажите, что расстояние между центрами окружностей,
описанных около треугольников
ABM и
CBM не зависит от положения
точки
M. Найдите это расстояние, если
AC =
a,
MBC =
.
Решение
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов.
Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.
Решение
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$.
Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$.
Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.
Решение
От треугольника отрезали три треугольника, причём каждый из трёх разрезов коснулся вписанной в треугольник окружности. Известно, что периметры отрезанных треугольников равны P1, P2, P3. Найдите периметр исходного треугольника.
Решение
Найдите наибольшее значение выражения a + b + c + d – ab – bc – cd – da, если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку [0, 1].
Решение
Фильтр
