Фильтр
Выбрана 21 задача Убрать все задачи
Треугольники ACC1 и BCC1 равны. Их вершины A и B лежат по разные стороны от прямой CC1.
Докажите, что треугольники ABC и ABC1 – равнобедренные.
На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки?
Можно ли разбить множество целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого значения n числа n, n - 50, n + 1987 принадлежали трём разным подмножествам?
Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда
Пусть A — произвольный угол, B и C — острые углы. Всегда ли существует такой угол X, что
На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.
Пусть x, y, z – любые числа из интервала (0, π/2). Докажите неравенство
На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проведена прямая.
Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.
С помощью одного циркуля постройте окружность, проходящую через три данные точки.
Докажите, что прямая, проходящая через точки a1 и a2, задаётся уравнением
Пусть
A <
B <
C < 90o. Докажите, что центр вписанной
окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O —
центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.
Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид ab + ba (где a и b - натуральные числа). Например, число 57 - изумительное, так как 57 = 25 + 52. Является ли изумительным число 2006?
С помощью одного циркуля постройте окружность, в которую переходит данная
прямая AB при инверсии относительно данной окружности
с данным центром O.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.
Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются
в точках A и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая
первую окружность в точке M1, а вторую в точке M2.
Докажите, что
BO1M1 =
BO2M2.
Пусть a и b — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле,
u — точка пересечения касательных к этой окружности в точках a и b.
Докажите, что
u = 2ab/(a + b).
Пусть f(x) – многочлен степени m. Докажите, что если m < n, то Δnf(x) = 0. Чему равна величина Δmf(x)?
В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.
По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.
Не используя калькулятора, определите знак числа (cos(cos 1) – cos 1)(sin(sin 1) – sin 1).
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]
Задача 64960 |
|
|
Не используя калькулятора, определите знак числа (cos(cos 1) – cos 1)(sin(sin 1) – sin 1).
|
|
Решение |
Задача 65997 |
|
|
Решите в целых числах неравенство: x² < 3 – 2cos πx.
|
|
Решение |
Задача 77905 |
|
|
Пусть A — произвольный угол, B и C — острые углы. Всегда ли существует такой угол X, что
|
|
|
Решение |
Задача 65525 |
|
|
Решите неравенство .
|
|
|
Решение |
Задача 98588 |
|
|
Пусть x, y, z – любые числа из интервала (0, π/2). Докажите неравенство
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]
