Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямоугольный лист бумаги размером a×b см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел a или b целое.

   Решение

---

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S₁ проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S₂ в точках B и C, а через точку D окружности S₂ – прямые DM и DN, пересекающие S₁ в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если  AB = DE,  то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

   Решение

---

На окружности выбрано пять точек A₁, A₂, A₃, A₄, H. Обозначим через h_ij расстояние от точки H до прямой A_iA_j. Доказать, что   h₁₂h₃₄ = h₁₄h₂₃.

   Решение

---

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взяли произвольную точку X, а на боковых сторонах – точки P и Q так, что XPBQ – параллелограмм. Докажите, что точка Y, симметричная точке X относительно PQ, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 201 202 203 204 205 206 207 >> [Всего задач: 1036]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64669

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы между биссектрисами ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В квадрате ABCD на стороне ВС взята точка М, а на стороне CD – точка N так, что  ∠MAN = 45°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника AMN принадлежит диагонали АС.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65203

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взяли произвольную точку X, а на боковых сторонах – точки P и Q так, что XPBQ – параллелограмм. Докажите, что точка Y, симметричная точке X относительно PQ, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115292

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116952

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Три попарно непересекающиеся окружности ω_x, ω_y, ω_z радиусов r_x, r_y, r_z лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ,  r_x = r_z = r,  а  r_y > r.  Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_x и ω_y, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_y и ω_z. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110766

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В шестиугольнике ABCDEF  AB = BC,  CD = DE,  EF = FA  и  ∠A = ∠C = ∠E.
Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 201 202 203 204 205 206 207 >> [Всего задач: 1036]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями