Тема:
Все темы
>>
Математический анализ
>>
Действительные числа
>>
Рациональные и иррациональные числа
Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
В этой задаче вы должны построить предложение русского языка, которое говорит о себе правду, только правду, и ничего кроме правды. Это предложение должно содержать в себе информацию о количестве букв, слов, пробелов, запятых, точек, кавычек в предложении и о количестве вхождений в предложение всех его слов. Оно должно быть орфографически и пунктуационно правильным, а также корректным с точки зрения русского языка. Все числительные должны быть записаны словами.
Моделью такого предложения (не удовлетворяющей лишь свойству
правдивости) может служить такой текст:
В этом предложении сто букв, двадцать слов, десять запятых,
двадцать пробелов, десять кавычек, одна точка, два слова "В",
два слова "этом", два слова "предложении", два слова "сто", два
слова "букв", два слова "двадцать", десять слова "десять",
десять слов "слова", два слова "слов", два слова "запятых", два
слова "пробелов", два слова "кавычек", два слова "одна", два
слова "точка", десять слов "два".
Выходные данные
В выходной файл нужно выдать правдивое предложение. Предложение должно
быть не длиннее 10 килобайт. Оно может содержать также иную (правдивую)
информацию. Предложение должно быть как можно короче.
Когда Кай справился с этим заданием, Королева дала ему другую ледяную пластинку (см. рисунок). Как разрезать ее на две равные части?
Треугольник BHC, где H – ортоцентр треугольника ABC, достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что ∠BAD = ∠CAH.
На плоскости дан квадрат и точка Р. Могут ли расстояния от точки Р до вершин квадрата оказаться равными 1, 1, 2 и 3?
Из двух квадратов один. Имеются два квадрата 3×3 и 1×1. Разрезать эти квадраты прямыми на части (не более трех), из которых можно было бы сложить один квадрат.
Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.
Две равные окружности пересекаются в точках A и B . P – отличная от A и B точка одной из окружностей, X , Y – вторые точки пересечения прямых PA , PB с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через P и перпендикулярная AB , делит одну из дуг XY пополам.
На дуге AC описанной окружности правильного треугольника ABC взята точка M, отличная от C, P – середина этой дуги. Пусть N – середина хорды BM, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на MC. Докажите, что треугольник ANK правильный.
Разрежьте фигуру (см. рисунок) по линиям сетки на четыре равные фигуры.
Докажите иррациональность следующих чисел:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) cos 10° ;
е) tg 10° ;
ж) sin 1° ;
з) log23 .
Доказать, что если несократимая рациональная дробь p/q является корнем многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то P(x) = (qx – p)Q(x), где многочлен Q(x) также имеет целые коэффициенты.
По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.
Разрежьте квадрат 4×4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами.
Дана бесконечная последовательность многочленов P1(x), P2(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций f1(x), f2(x), ..., fN(x), композициями которых можно записать любой из них (например, P1(x) = f2(f1(f2(x))))?
Две окружности пересекаются в точках A и B. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке C, а второй – в точке D. Пусть B – ближайшая к прямой CD точка пересечения окружностей. Прямая CB второй раз пересекает вторую окружность в точке E. Докажите, что AD – биссектриса угла CAE.
Докажите, что
cos 20o — число
иррациональное.
Перед футбольным матчем команд "Север" и "Юг" было дано пять прогнозов:
а) ничьей не будет;
б) в ворота "Юга" забьют;
в) "Север" выиграет;
г) "Север" не проиграет;
д) в матче будет забито ровно 3 гола.
После матча выяснилось, что верными оказались ровно три прогноза. С каким счётом закончился матч?
В выпуклом четырёхугольнике ABCD равны углы при вершинах A и B . Известно также, что BC=1 и AD=3 . Докажите, что CD>2 .
Докажите, что если (p, q) = 1 и p/q – рациональный корень многочлена P(x) = anxn + ... + a1x + a0 с целыми коэффициентами, то
а) a0 делится на p;
б) an делится на q.
Назовём треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника рациональной, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 95]
Задача 60844 |
|
|
Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется конечной или периодической десятичной дробью.
|
|
Решение |
Задача 60846 |
|
|
Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.
|
|
|
Решение |
Задача 60855 |
|
|
Один из корней уравнения x² + ax + b = 0 равен 1 + . Найдите a и b, если известно, что они рациональны.
|
|
|
Решение |
Задача 60866 |
|
|
Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с
вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в
треугольнике — число рациональное.
|
|
|
Решение |
Задача 60869 |
|
|
Докажите, что на окружности с центром в точке лежит не более одной точки целочисленной
решетки.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 95]
