Каталог по темам

Задачи

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 1036]

Задача 109499

Темы:	[	Точка Торричелли	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°.
Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53134

[Задача о бабочке]

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две точки B и C так, что
AB = AC. Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57059

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что a² + b² = c².

Прислать комментарий

Решение

Задача 58140

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.

Прислать комментарий Решение

Задача 65652

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Креков Д.

Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть A' – точка, симметричная A относительно BC, O_A – центр окружности, проходящей через A и середины отрезков A'B и A'C. Точки O_B и O_C определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников ABC и O_AO_BO_C.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 1036]