Версия для печати
Убрать все задачи

---

а)  coscos + coscos + coscos 3/4.

   Решение

---

а)  sin(/2)sin(/2)sin(/2) 1/8;
б)  coscoscos 1/8.

   Решение

---

Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   x_n+1 = x_n – = .  Докажите, что если x₀ совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x₁, x₂, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

   Решение

---

Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной записи числа . Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру.

   Решение

---

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_n+1 ≤ 10a_n  при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

   Решение

---

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

   Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 332]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111695

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Индукция (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
  а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
  б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)?
(Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111769

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Замена переменных ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Для положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60875

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Индукция (прочее) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Определим последовательности чисел (x_n) и (d_n) условиями  x₁ = 1,  x_n+1 = [  ],  d_n = x_2n+1 – 2x_2n–1  (n ≥ 1).
Докажите, что число в двоичной системе счисления представляется в виде  (d₁,d₂d₃...)₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61331

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   x_n+1 = x_n – = .  Докажите, что если x₀ совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x₁, x₂, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66150

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Индукция (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 332]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями