Каталог по темам

Задачи

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 499]

Задача 66244

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Дан треугольник ABC, O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO. Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66308

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Mudgal A.

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что ∠BKC > 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66979

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кноп К.А., Челноков Г.Р.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB>AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ в точке $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PK$ пересекает меньшую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что в четырехугольник $ABDC$ можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 79592

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Токарев С.И.

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 104095

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что MOK равен половине угла BLD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 499]