ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Замечательные точки и линии в треугольнике >> Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Бакаев Е.В.

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.

   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

  с решениями  

Задача 66777

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.
Прислать комментарий     Решение

Задача 66017

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Теорема синусов ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Удвоение медианы ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Обухов Б.

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если  ∠MAC = 30°,  то  AK = BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65937

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Авторы: Заславский А.А., Френкин Б.Р.

В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116912

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Авторы: Заславский А.А., Френкин Б.Р.

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73583

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Биссектриса AD, медиана BM и высота CH остроугольного треугольника ABC пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла BAC больше 45°.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .