Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
  а)   ≤   неравенство Коши);
  б)  

  в)     где  b₁ + ... + b_n = 1.
  Значения переменных считаются положительными.

   Решение

В параллелограмме ABCD диагональ AC перпендикулярна стороне AB. Некоторая окружность касается стороны BC параллелограмма ABCD в точке P и касается прямой, проходящей через вершины A и B этого же параллелограмма, в точке A. Через точку P проведён перпендикуляр PQ к стороне AB (точка Q — основание этого перпендикуляра). Найдите угол ABC, если известно, что площадь параллалограмма ABCD равна , а площадь пятиугольника QPCDA равна S.

   Решение

Найдите наибольшее значение выражения

x + y.

   Решение

Докажите равенства:
  a)  cos ^π/₅ – cos ^2π/₅ = ½;
  б)  cosec ^π/₇ = cosec ^2π/₇ + cosec ^3π/₇;
  в)  sin 9° + sin 49° + sin 89° + ... + sin 329° = 0.

   Решение

При каких натуральных  n ≥ 2  неравенство     выполняется для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если
  а)  p = 1;
  б)  p = ⁴/₃;
  в)  p = ⁶/₅?

   Решение

Два угла треугольника равны 40° и 80°. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

   Решение

Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.

   Решение

На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника.
Найдите радиус окружности, если высота, опущенная на основание треугольника, равна 3.

   Решение

Докажите, что если  x² + 1  (x – целое) делится на нечётное простое p, то  p = 4k + 1.

   Решение

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

   Решение

Основание равнобедренного треугольника равно a, угол при вершине равен α. Найдите биссектрису, проведённую к боковой стороне.

   Решение

Дана невозрастающая последовательность чисел   ¹/_2k = a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n ≥ ... > 0,  a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = 1.
Доказать, что найдутся k чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.

   Решение

Докажите, что если D – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC, а M – произвольная точка на стороне AC, то  DB – DM < AB – AM.

   Решение

В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. На отрезках $AB_0$ и $BA_0$ во внешнюю сторону построены как на основаниях равносторонние треугольники с вершинами $C_1$, $C_2$. Найдите угол $C_0C_1C_2$.

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 5294]      

В прямоугольном треугольнике длины сторон – натуральные взаимно простые числа.
Докажите, что длина гипотенузы – нечётное число, а длины катетов имеют разную чётность.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. На отрезках $AB_0$ и $BA_0$ во внешнюю сторону построены как на основаниях равносторонние треугольники с вершинами $C_1$, $C_2$. Найдите угол $C_0C_1C_2$.

Прислать комментарий

Решение

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AE, BM и CP. Известно, что EM параллельна AB и EP параллельна AC. Докажите, что MP параллельна BC.

Прислать комментарий

Решение

Сторона треугольника равна   ,   углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°.
Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 5294]