Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Тригонометрия
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC расположены точки N и M соответственно, причём  AN = NM = MB = BC.
Найдите углы треугольника ABC.

Вниз   Решение

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной a и углом α.
Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон b и c?

ВверхВниз   Решение

Билеты стоят 50 центов, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина из них имеет по одному доллару, остальные – по 50 центов. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Доказать, что
  а) из всех треугольников с данной стороной и данным периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием);
  б) из всех треугольников с данной стороной и данной площадью наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием).

ВверхВниз   Решение

Дима нарисовал на доске семь графов, каждый из которых является деревом с шестью вершинами. Докажите, что среди них есть два изоморфных.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что две различные окружности касаются тогда и только тогда, когда они касаются некоторой прямой в одной и той же точке.

ВверхВниз   Решение

Дан угол в 30o. Постройте окружность радиуса 2,5, касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его стороне. Найдите расстояние от центра окружности до вершины угла.

ВверхВниз   Решение

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком `` плюс'', а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком `` минус''. Докажите, что для любого такого пути алгебраическая сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)

ВверхВниз   Решение

В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

ВверхВниз   Решение

В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бешкарев В.П.

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177° равна 45. Докажите это.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что при любых  x >   и  y >   выполняется неравенство  x4 – x³y + x²y² – xy³ + y4 > x² + y².

ВверхВниз   Решение

В каком-то году некоторое число ни в одном месяце не было воскресеньем. Определить это число.

ВверхВниз   Решение

Дан четырехугольник ABCD. На стороне AB взята точка K, на стороне BC &8212; точка L, на стороне CD — точка M и на стороне AD — точка N, так, что KB = BL = a, MD = DN = b. Пусть KL $ \nparallel$ MN. Найти геометрическое место точек пересечения прямых KL и MN при изменении a и b.

ВверхВниз   Решение

Числа а, b и с лежат в интервале  (0, 1).  Докажите, что  a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + 2.

ВверхВниз   Решение

Автор: Евдокимов М.А.

Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{3}$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac{1}{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 210]      

  с решениями  

Задача 109573

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 111826

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Докажите, что при k>10 в произведении

f(x) = cos x cos 2x cos 3x .. cos 2k x

можно заменить один cos на sin так, что получится функция f1(x) , удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f1(x)| .
Прислать комментарий     Решение

Задача 73670

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Маресин В.

Для каждого натурального  n > 1  существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа  x + π/n,  синуса числа
x + 2π/n,  ..., наконец, синуса числа  x + (n – 1)π/n  равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61202

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Упростите выражения:
а) sin$ {\dfrac{\pi}{2n+1}}$sin$ {\dfrac{2\pi}{2n+1}}$sin$ {\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...sin$ {\dfrac{n\pi}{2n+1}}$;
б) sin$ {\dfrac{\pi}{2n}}$sin$ {\dfrac{2\pi}{2n}}$sin$ {\dfrac{3\pi}{2n}}$...sin$ {\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$;
в) cos$ {\dfrac{\pi}{2n+1}}$cos$ {\dfrac{2\pi}{2n+1}}$cos$ {\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...cos$ {\dfrac{n\pi}{2n+1}}$;
г) cos$ {\dfrac{\pi}{2n}}$cos$ {\dfrac{2\pi}{2n}}$cos$ {\dfrac{3\pi}{2n}}$...cos$ {\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67204

Темы:   [ Обратные тригонометрические функции ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{3}$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac{1}{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 210]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .