Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 257]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66912

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Окружности на сфере ] [ Сферы (прочее) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Дано целое $n>2$. На сфере радиуса 1 требуется расположить $n$ попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины $\alpha$. Докажите, что

а) при любом $\alpha<\pi+\frac{2\pi}n$ это возможно;

б) при любом $\alpha>\pi+\frac{2\pi}n$ это невозможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67229

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Радикальная плоскость ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Дан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116527

Темы:   [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Касательные к сферам ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA₁ < AD < AB. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79322

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Окружности на сфере ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На сферическом Солнце обнаружено конечное число круглых пятен, каждое из которых занимает меньше половины поверхности Солнца. Эти пятна предполагаются замкнутыми (т.е. граница пятна принадлежит ему) и не пересекаются между собой. Доказать, что на Солнце найдутся две диаметрально противоположные точки, не покрытые пятнами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98264

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

 

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 257]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями