Страница:
<< 46 47 48 49 50 51 52 [Всего задач: 260]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Высота четырехугольной пирамиды
SABCD проходит через точку пересечения диагоналей
ее основания
ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры
AA1
,
BB1
,
CC1
,
DD1
на прямые
SC ,
SD ,
SA и
SB соответственно.
Оказалось, что точки
S ,
A1
,
B1
,
C1
,
D1
различны и лежат на
одной сфере. Докажите, что прямые
AA1
,
BB1
,
CC1
,
DD1
проходят
через одну точку.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если
а) чёрных граней больше половины;
б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.
Дана описанная четырёхугольная пирамида ABCDS. Противоположные стороны основания пересекаются в точках P и Q, причём точки A и B лежат на отрезках PD и PC. Вписанная сфера касается боковых граней ABS и BCS в точках K и L. Докажите, что если прямые PK и QL пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке BD.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1; A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1; B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.
Страница:
<< 46 47 48 49 50 51 52 [Всего задач: 260]
Фильтр
