Каталог по темам

Задачи

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 260]

Задача 65812

Темы:	[	Cфера, вписанная в призму	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Окружность Аполлония	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A₀, B₀, C₀ соответственно. При этом
∠A₀BB' = ∠B₀CC' = ∠C₀AA'.
а) Чему могут равняться эти углы?
б) Докажите, что отрезки AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67229

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Радикальная плоскость	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Tran Quang Hung

Дан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 79322

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Окружности на сфере	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На сферическом Солнце обнаружено конечное число круглых пятен, каждое из которых занимает меньше половины поверхности Солнца. Эти пятна предполагаются замкнутыми (т.е. граница пятна принадлежит ему) и не пересекаются между собой. Доказать, что на Солнце найдутся две диаметрально противоположные точки, не покрытые пятнами.

Прислать комментарий Решение

Задача 98264

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Сферы (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Рубин А.

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 79466

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Свойства сечений	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Авторы: Гашков С.Б., Шарыгин И.Ф.

Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 260]