Страница:
<< 128 129 130 131
132 133 134 >> [Всего задач: 1032]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:
– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.
– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.
Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
В остроугольном треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $BM$ – медиана, $BH$ – высота. Окружности $AOB$ и $BHC$ повторно пересекаются в точке $E$, а окружности $AHB$ и $BOC$ – в точке $F$. Докажите, что $ME=MF$.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности,
касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним.
Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.
Дан острый угол
ABC . На стороне
BC отложены отрезки
BD= 4 см
и
BE= 14 см. Найти на стороне
BA такие две точки
M и
N ,
чтобы
MN=3 см и
DMN= MNE .
Страница:
<< 128 129 130 131
132 133 134 >> [Всего задач: 1032]
Фильтр
Решение
Решение 
