В треугольнике ABC, площадь которого равна 1, на медиане BK взята точка M, причём  MK = ¼ BK.  Прямая AM пересекает сторону BC в точке L.
Найдите площадь треугольника ALC.

   Решение

Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб, сторона которого равна 60. Плоскость диагонального сечения, проходящая через большую диагональ основания, перпендикулярна плоскости основания. Площадь этого сечения равна 7200. Найдите меньшую диагональ основания, если боковое ребро равно 80 и образует с плоскостью основания угол 60^o .

   Решение

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

   Решение

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

   Решение

Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB (точки P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно). Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в одной точке.

   Решение

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, вневписанная окружность с центром $I_A$ касается стороны $BC$ в точке $A'$. Через $I$ проведена прямая $l\perp BI$. Оказалось, что $l$ пересекает $I_AA'$ в точке $K$, лежащей на средней линии, параллельной $BC$. Докажите, что $\angle B\leq 60^{\circ}$.

   Решение

Доказать, что квадрат любого простого числа  p > 3  при делении на 12 даёт в остатке 1.

   Решение

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n,  принимающий при  x = 0  и  x = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.

   Решение

Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку A, взятую внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку A.

   Решение

Решить уравнение:

   Решение

Решить в натуральных числах уравнение  x^2y–1 + (x + 1)^2y–1 = (x + 2)^2y–1.

   Решение

У первоклассника имеется сто карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100, а также большой запас знаков "+" и "=". Какое наибольшее число верных равенств он может составить? (Каждая карточка используется не более одного раза, в каждом равенстве может быть только один знак "=", переворачивать карточки и прикладывать их для получения новых чисел нельзя.)

   Решение

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отметили точку $K$, а на катете $AC$ – точку $L$ так, что  $AK = AC,  BK = LC$.  Отрезки $BL$ и $CK$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольник $CLM$ равнобедренный.

   Решение

В параллелограмм P₁ вписан параллелограмм P₂, а в параллелограмм P₂ вписан параллелограмм P₃, стороны которого параллельны сторонам P₁. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон P₁ не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны P₃.

   Решение

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (прямая Гаусса).

   Решение

Проведены две параллельные плоскости по одну сторону от центра шара на расстоянии 3 друг от друга. Эти плоскости дают в сечении два малых круга, радиусы которых соответственно равны 9 и 12. Найдите объём шара.

   Решение

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана такая точка D, что  BD = BC,  а на катете BC – такая точка E, что  DE = BE.
Докажите, что  AD + CE = DE.

   Решение

На сторонах AB, AC и BC правильного треугольника ABC расположены соответственно точки C₁, B₁ и A₁ так, что треугольник A₁B₁C₁ – правильный. Отрезок BB₁ пересекает сторону C₁A₁ в точке O, причём  ^BO/_OB1 = k.  Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 201]      

Саша и Ваня родились 19 марта. Каждый из них отмечает свой день рождения тортом со свечками по количеству исполнившихся ему лет. В тот год, когда они познакомились, у Саши на торте было столько же свечек, сколько у Вани сегодня. Известно, что суммарное количество свечек на четырёх тортах Вани и Саши (тогда и сегодня) равно 216. Сколько лет исполнилось Ване сегодня?

Прислать комментарий

Решение

Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.

Прислать комментарий

Решение

Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?

Прислать комментарий

Решение

Решить систему уравнений:   x₁x₂ = x₂x₃ = ... = x_n–1x_n = x_nx₁ = 1.

Прислать комментарий

Решение

Найти все действительные решения уравнения с четырьмя неизвестными:   x² + y² + z² + t² = x(y + z + t).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 201]