Часть клеток бесконечной клетчатой бумаги покрашена в красный цвет, остальные — в белый (не обязательно в шахматном порядке). По красным клеткам прыгает кузнечик, по белым — блоха, причём каждый прыжок может быть сделан на любое расстояние по вертикали или горизонтали. Докажите, что кузнечик и блоха могут оказаться рядом, сделав в общей сложности (в сумме) не более трёх прыжков.

   Решение

В ромбе ABCD  ∠А = 120°.  На сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что  ∠NAM = 30°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника NAM лежит на диагонали ромба.

   Решение

n одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?

Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки?

   Решение

Страница: << 168 169 170 171 172 173 174 >> [Всего задач: 1032]      

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.

Прислать комментарий

Решение

Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.

Прислать комментарий

Решение

n одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?

Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки?

Прислать комментарий

Решение

По окружности выписаны n чисел  x₁, x₂, ..., x_n,  каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого  k = 1, 2, ..., n – 1  сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть  x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0,  x₁x₃ + x₂x₄ + ... + x_nx₂ = 0,  x₁x₄ + x₂x₅ + ... + x_nx₃ = 0  и так далее; например, для  n = 4  можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
  а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
  б)* Существует ли такой набор чисел для  n = 16?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 168 169 170 171 172 173 174 >> [Всего задач: 1032]