ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Тема: Все темы >> Геометрия >> Стереометрия >> Многогранники и пространственные многоугольники >> Формула Эйлера. Эйлерова характеристика
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть ($ \alpha_{1}^{}$,$ \beta_{1}^{}$,$ \gamma_{1}^{}$) и ($ \alpha_{2}^{}$,$ \beta_{2}^{}$,$ \gamma_{2}^{}$) — абсолютные барицентрические координаты точек M и N. Докажите, что

MN2 = SA($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$)2 + SB($\displaystyle \beta_{1}^{}$ - $\displaystyle \beta_{2}^{}$)2 + SC($\displaystyle \gamma_{1}^{}$ - $\displaystyle \gamma_{2}^{}$)2,

где S$\scriptstyle \omega$ = 2Sctg$ \omega$ для произвольного угла $ \omega$, A, B, C — углы данного треугольника, а S — его площадь.

Вниз   Решение

У многочленов Р(х) и Q(х) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).
Докажите, что разность  Р(2015) – Q(2015)  кратна 1007.

ВверхВниз   Решение

В квадратной таблице из 9×9 клеток отмечены 9 клеток, лежащие на пересечении второй, пятой и восьмой строк со вторым, пятым и восьмым столбцами. Сколькими путями можно из левой нижней клетки попасть в правую верхнюю, двигаясь только по неотмеченным клеткам вверх или вправо?

ВверхВниз   Решение

Автор: Лиманов Л.Г.

Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.
Докажите это.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

Задача 35419

Темы:   [ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ]
[ Эйлерова характеристика ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

У выпуклого многогранника все грани - правильные пятиугольники или правильные шестиугольники. Сколько среди этих граней пятиугольников?
Прислать комментарий     Решение

Задача 73668

Тема:   [ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Маресин В.

Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?
Прислать комментарий     Решение

Задача 60331

 [Теорема Эйлера]
Темы:   [ Эйлерова характеристика ]
[ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Докажите, что для любого выпуклого многогранника имеет место соотношение

B - P + Г = 2,

где B — число его вершин, P — число ребер, Г — число граней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73629

Темы:   [ Многогранные углы ]
[ Средние величины ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Лиманов Л.Г.

Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.
Докажите это.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64676

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Средние величины ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Доказательство от противного ]
[ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Выпуклый многоугольник разрезан на выпуклые семиугольники (так, что каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников). Докажите, что найдутся четыре соседние вершины многоугольника, принадлежащие одному семиугольнику.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам