Докажите, что треугольник со сторонами a, b и c остроугольный тогда и только тогда, когда  a² + b² + c² > 8R².

   Решение

На плоскости отмечено 2000 точек. Можно ли провести прямую, по каждую сторону от которой лежит 1000 точек?

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью.

   Решение

Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD.
Докажите, что если равны периметры треугольников ABO, BCO, CDO, DAO, то ABCD – ромб.

   Решение

Найдите такие многочлены P(x) и Q(x), что  (x + 1)P(x) + (x⁴ + 1)Q(x) = 1.

   Решение

Решите неравенство   .

   Решение

В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины.
Докажите, что прямая пересекает чётное число диагоналей.

   Решение

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

   Решение

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

   Решение

Решите в целых числах неравенство:  x² < 3 – 2cos πx.

   Решение

Даны две окружности с центрами O1 и O2 . Докажите, что геометрическим местом точек M , для которых касательные к данным окружностям равны, есть прямая, перпендикулярная O1O2 , или часть такой прямой. В каких случаях искомым геометрическим местом является вся прямая?

   Решение

Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число (a + b + c - bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.

   Решение

Каждая из трёх прямых, параллельных сторонам и проходящих через центр вписанной окружности треугольника, отсекают от него некоторый треугольник. Докажите, что сумма периметров отсечённых треугольников вдвое больше периметра исходного треугольника.

   Решение

Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

   Решение

В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвертого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?

   Решение

Матч Бавария – Спартак окончился со счетом  5 : 8.  Докажите, что в матче был такой момент, когда Спартаку оставалось забить столько мячей, сколько Бавария уже забила к этому времени.

   Решение

Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и медиане, проведенной к основанию.

   Решение

Докажите признак равенства треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.

   Решение

В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

   Решение

Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

   Решение

Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников BAO и DCO, если известно, что  ∠BAO = ∠DCO  и  AO = OC.

   Решение

Учащиеся одной школы часто собираются группами и ходят в кафе-мороженое. После такого посещения они ссорятся настолько, что никакие двое из них после этого вместе мороженое не едят. К концу года выяснилось, что в дальнейшем они могут ходить в кафе-мороженое только поодиночке. Докажите, что если число посещений было к этому времени больше 1, то оно не меньше числа учащихся в школе.

   Решение

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x₁ и x₂, сумма которых не превосходит 1, величина f (x₁ + x₂) не превосходит суммы величин f(x₁) и f(x₂).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x₂) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x₂) ≤ 1,9x?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x₁ и x₂, сумма которых не превосходит 1, величина f (x₁ + x₂) не превосходит суммы величин f(x₁) и f(x₂).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x₂) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x₂) ≤ 1,9x?

Прислать комментарий

Решение

Найдите наибольшее значение выражения  a + b + c + d – ab – bc – cd – da,  если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку  [0, 1].

Прислать комментарий

Решение

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Прислать комментарий

Решение

Решите уравнение:  (x³ – 2)(2^{sin x} – 1) + (2^x³ – 4) sin x = 0.

Прислать комментарий

Решение

Непрерывная функция f(x) такова, что для всех действительных x выполняется неравенство: f(x²)-(f(x))² . Верно ли, что функция f(x) обязательно имеет точки экстремума?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]