Через точку O, взятую на стороне правильного треугольника ABC, проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC, и пересекающие стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Окружность, проходящая через точки O, K и L пересекает стороны AC и AB соответственно в точках Q и P, отличных от K и L. Докажите, что треугольник OPQ — равносторонний.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD равны. Кроме того,  ∠BAC = ∠ADB,  ∠CAD + ∠ADC = ∠ABD.  Найдите угол BAD.

   Решение

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

   Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 296]      

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты соответственно точки X и Y, причём  ∠ABX = ∠YAC,  ∠AYB = ∠BXC,  XC = YB.
Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD равны. Кроме того,  ∠BAC = ∠ADB,  ∠CAD + ∠ADC = ∠ABD.  Найдите угол BAD.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклая фигура F обладает следующим свойством: любой правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно перенести так, что все его вершины попадут на границу F. Обязательно ли F – круг?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 296]