Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = и  BL : LC = AN : ND = . Пусть P — точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = и  KP : PM = .

   Решение

---

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

   Решение

---

Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?

   Решение

---

Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса 2r так, что каждый шар касается двух других, верхнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найдите радиус основания цилиндра.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC отрезок BH является высотой, опущенной на гипотенузу, а точка L делит отрезок HC пополам. Найдите угол LBC, если известно, что AH = , а BL = 3

   Решение

---

Решите ребус:  АХ×УХ = 2001.

   Решение

---

Решите ребус:  БАО×БА×Б = 2002.

   Решение

---

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что площадь одного из треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C не превосходит:
а) S_ABC/4;
б)  S_A1B1C1.

   Решение

---

Три шара, среди которых имеется два одинаковых, касаются плоскости P и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого кругового конуса принадлежит плоскости P , а ось конуса перпендикулярна к этой плоскости. Все три шара лежат вне конуса, причем каждый из них касается некоторой образующей конуса. Найдите косинус угла между образующей конуса и плоскостью P , если известно, что в треугольнике с вершинами в точках касания шаров с плоскостью P величина одного из углов равна 150^o .

   Решение

---

Даны точки A(2;4), B(6; - 4) и C(- 8; - 1). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

   Решение

---

Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин противоположных рёбер одна и та же для любой пары таких рёбер, то вершины этой пирамиды являются центрами четырёх шаров, попарно касающихся друг друга.

   Решение

---

Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше – 2 ягоды, следующий – 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось 2⁹⁹ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды "по справедливости". Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наибольшее количество ягод может съесть лиса?

   Решение

---

Найдите все такие нечётные натуральные  n > 1,  что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число  a + b – 1  также является делителем n.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CD . Проекция отрезка BD на катет BC равна l , а проекция отрезка AD на катет AC равна m . Найдите гипотенузу AB .

   Решение

---

Даны 10 чисел:  а₁ < а₂ < ... < а₁₀.  Сравните среднее арифметическое этих чисел со средним арифметическим первых шести чисел.

   Решение

---

Пусть ABCD и  A₁B₁C₁D₁ — два выпуклых четырехугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если  A > A₁, то  B < B₁,C > C₁,D < D₁.

   Решение

---

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На ребре AB как на диаметре построена сфера. Найдите радиус шара, вписанного в трёхгранный угол тетраэдра с вершиной в точке A и касающегося построенной сферы.

   Решение

---

Три шара касаются плоскости P в точках B1 , B2 , B3 и, кроме того, попарно касаются друг друга. Радиусы двух из них одинаковы и равны , а радиус третьего шара больше. Вершина конуса находится между плоскостью P и плоскостью основания. Все три шара лежат вне конуса, причем каждый из них касается его некоторой образующей. Угол между основанием конуса и его образующей равен arctg . Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости P , если известно, что в треугольнике B1B2B3 имеется пара сторон, отношение которых равно .

   Решение

---

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

   Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 420]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66625

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Целочисленные решетки ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В доме $8N$ этажей. В подъезде два лифта, в каждом из которых кнопки расположены в виде прямоугольника $N\times 8$ ($N$ строк, 8 столбцов), но пронумерованы по-разному: в одном «слева направо, снизу вверх», а в другом «снизу вверх, слева направо» (пример для $N=3$ см. на рисунке). Даня нажимает кнопку своего этажа, не глядя на нумерацию, потому что эта кнопка в обоих лифтах расположена на одном и том же месте. На каком этаже он может жить? (Например, для $N=3$ ответ 1 и 24. Требуется найти все возможные варианты в зависимости от $N$.)

17 18 19 20 21 22 23 24 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8

3 6 9 12 15 18 21 24 2 5 8 11 14 17 20 23 1 4 7 10 13 16 19 22

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78294

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Комбинаторика орбит ] [ Многоугольники (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В окружность вписан неправильный n-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол  α ≠ 2π   совмещается сам с собой. Доказать, что n – число составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79268

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34865

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Инварианты ]

Сложность: 4-

Во всех клетках таблицы 20×20 расставлены плюсы. Разрешается менять знак одновременно во всех клетках строки или столбца.
Можно ли, пользуясь этими операциями, получить ровно 199 минусов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34997

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству  ab = cd.  Докажите, что число  a²⁰⁰⁰ + b²⁰⁰⁰ + c²⁰⁰⁰ + d²⁰⁰⁰  составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 420]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями