В прямоугольном треугольнике длины сторон – натуральные взаимно простые числа.
Докажите, что длина гипотенузы – нечётное число, а длины катетов имеют разную чётность.

   Решение

Докажите, что при простых  p > 7  число  p⁴ − 1  делится на 240.

   Решение

Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

   Решение

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a³b + b³c + c³a ≥ abc(a + b + c).

   Решение

Сторона квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Касательная CK, проведённая из вершины C к этой же окружности, равна 2. Найдите диаметр окружности.

   Решение

Диаметры AB и CD окружности S перпендикулярны. Хорда EA пересекает диаметр CD в точке K, хорда EC пересекает диаметр AB в точке L. Докажите, что если CK : KD = 2 : 1, то AL : LB = 3 : 1.

   Решение

Доска 2N×2N покрыта неперекрывающимися доминошками 1×2. По доске прошла хромая ладья, побывав на каждой клетке по одному разу (каждый ход хромой ладьи – на клетку, соседнюю по стороне). Назовём ход продольным, если это переход из одной клетки доминошки на другую клетку той же доминошки. Каково

а) наибольшее;

б) наименьшее возможное число продольных ходов?

   Решение

Пусть  n > 2.  Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

   Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 6k + 5  бесконечно.

   Решение

Существуют ли такие
  а) 4 различных натуральных числа;
  б) 5 различных натуральных чисел;
  в) 5 различных целых чисел;
  г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?

   Решение

Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.

   Решение

Найдите наименьшее простое число, которое можно представить в виде суммы пяти различных простых чисел.

   Решение

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?

   Решение

Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел  ac + bd,  ae + bf,  ag + bh,  ce + df,  cg + dh,  eg + fh  неотрицательно.

   Решение

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 590]      

При каких натуральных  n ≥ 2  неравенство     выполняется для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если
  а)  p = 1;
  б)  p = ⁴/₃;
  в)  p = ⁶/₅?

Прислать комментарий

Решение

Что больше: 300! или 100³⁰⁰?

Прислать комментарий

Решение

Дана невозрастающая последовательность чисел   ¹/_2k = a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n ≥ ... > 0,  a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = 1.
Доказать, что найдутся k чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.

Прислать комментарий

Решение

Даны сто чисел x₁, x₂,..., x₁₀₀, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей  x_k+1 – x_k  меньше ¹/₅₀ каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.

Прислать комментарий

Решение

Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел  ac + bd,  ae + bf,  ag + bh,  ce + df,  cg + dh,  eg + fh  неотрицательно.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 590]