Страница:
<< 46 47 48 49
50 51 52 >> [Всего задач: 507]
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон.
Доказать, что отношение каждой диагонали к соответствующей стороне равно
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
На доске после занятия осталась запись:
"Вычислить t(0) − t(π/5) + t(2π/5) − t(3π/5) + ... + t(8π/5) − t(9π/5), где t(x) = cos5x + *cos4x + *cos3x + *cos2x + *cosx + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вместо них в нашей записи *). Не ошибается ли он?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины
которых лежат на окружности.
а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное
число точек самопересечения.
б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не
может иметь.
Двое играющих по очереди красят стороны n-угольника. Первый может покрасить сторону, которая граничит с нулём или двумя покрашенными сторонами, второй – сторону, которая граничит с одной покрашенной стороной. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. При каких n второй может выиграть, как бы ни играл первый?
В выпуклом семиугольнике A1A2A3A4A5A6A7 диагонали A1A3, A2A4, A3A5, A4A6, A5A7, A6A1 и A7A2 равны между собой. Диагонали A1A4, A2A5, A3A6, A4A7, A5A1, A6A2 и A7A3 тоже равны между собой.
Обязательно ли этот семиугольник равносторонний?
Страница:
<< 46 47 48 49
50 51 52 >> [Всего задач: 507]
Фильтр
Решение 
