Каталог по темам

Задачи

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 257]

Задача 66912

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Окружности на сфере	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Дано целое $n>2$. На сфере радиуса 1 требуется расположить $n$ попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины $\alpha$. Докажите, что

а) при любом $\alpha<\pi+\frac{2\pi}n$ это возможно;

б) при любом $\alpha>\pi+\frac{2\pi}n$ это невозможно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67229

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Радикальная плоскость	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Tran Quang Hung

Дан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 116527

Темы:	[	Прямоугольные параллелепипеды	]
	[	Cкрещивающиеся прямые, угол между ними	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Касающиеся сферы	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA₁ < AD < AB. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79322

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Окружности на сфере	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На сферическом Солнце обнаружено конечное число круглых пятен, каждое из которых занимает меньше половины поверхности Солнца. Эти пятна предполагаются замкнутыми (т.е. граница пятна принадлежит ему) и не пересекаются между собой. Доказать, что на Солнце найдутся две диаметрально противоположные точки, не покрытые пятнами.

Прислать комментарий Решение

Задача 98264

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Сферы (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Рубин А.

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 257]