Каталог по темам

Задачи

Страница: << 130 131 132 133 134 135 136 >> [Всего задач: 678]

Задача 76460

Темы:	[	Пересекающиеся сферы	]
	[	Окружности на сфере	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

Прислать комментарий Решение

Задача 107858

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Разрезания на параллелограммы	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Произволов В.В.

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115863

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Векторы (прочее)	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Разрезания на параллелограммы	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Глазырин А.

Дано множество точек O, A₁, A₂, ..., A_n на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки A_i выполняется равенство где k и l – некоторые целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109629

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.	]
	[	Покрытия	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Смуров М.В.

Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109891

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Системы точек	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Покрытия	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не зависит от того, какую раскраску сделал Петя.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 130 131 132 133 134 135 136 >> [Всего задач: 678]