Страница:
<< 92 93 94 95 96 97 98 [Всего задач: 490]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В колоде часть карт лежит рубашкой вниз. Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат рубашкой вниз, переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет её в то же место колоды (если "пачка" состоит лишь из одной карты, то требуется только, чтобы она лежала рубашкой вниз). Докажите, что в конце концов все карты лягут рубашкой вверх, как бы ни действовал Петя.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p$ – 1.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a,
а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что a = b.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма k наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма k наибольших чисел равна b.
а) Докажите, что если k = 2, то a = b.
б) В случае k = 3 приведите пример такой таблицы, для которой a ≠ b.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Назовем многогранник хорошим, если его
объем (измеренный в
м3 ) численно равен площади его поверхности
(измеренной в
м2 ).
Можно ли какой-нибудь
хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего
параллелепипеда?
Страница:
<< 92 93 94 95 96 97 98 [Всего задач: 490]
Фильтр
