Каталог по темам

Задачи

Страница: << 153 154 155 156 157 158 159 >> [Всего задач: 829]

Задача 116918

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Швецов Д.В.

На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; H_x, H_y, H_z – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки H_x, H_y, H_z лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109629

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.	]
	[	Покрытия	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Смуров М.В.

Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66257

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

В треугольнике ABC ∠A = 60°, точки M и N на сторонах AB и AC соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника ABC делит отрезок MN пополам. Найдите отношение AN : MB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108004

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52419

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На сторонах AC и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ACA₁A₂ и BCB₁B₂.
Докажите, что прямые A₁B, A₂B₂ и AB₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 153 154 155 156 157 158 159 >> [Всего задач: 829]