Страница:
<< 195 196 197 198 199 200
201 >> [Всего задач: 1005]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1; A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1; B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Окружности σB, σC – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон
AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ωB симметрична σB относительно середины стороны AC, окружность ωC симметрична σC относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ωB и ωC, делит периметр треугольника ABC пополам.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Найдите cos 36° и cos 72°.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Точка O – центр описанной окружности Ω остроугольного треугольника ABC. Описанная окружность ω треугольника AOC вторично пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Оказалось, что прямая EF делит площадь треугольника ABC пополам. Найдите угол B.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)
Страница:
<< 195 196 197 198 199 200
201 >> [Всего задач: 1005]
Фильтр
