Каталог по темам

Задачи

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 2992]

Задача 66875

Тема:

[

Окружности (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Перепечко А.Ю.

Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?

Прислать комментарий Решение

Задача 66914

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Акопян А.В.

Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66918

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Акопян А.В.

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67091

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная и вневписанная окружности треугольника $ABC$ касаются отрезка $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P'$ и $Q'$ соответственно. Докажите, что $PP' > QQ'$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67122

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$, причем $AD = AE = EB$. На отрезке $CE$ отметили точку $F$, так что $ED = CF$. Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$. Докажите, что точки $A$, $E$, $F$ и $P$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 2992]