Каталог по темам

Задачи

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 330]

Задача 64740

Темы:	[	Окружность Аполлония	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Белухов Н.

В треугольнике ABC AL_a и AM_a – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ω_a – окружность, симметричная описанной окружности Ω_a треугольника AL_aM_a относительно середины BC. Окружность ω_b определена аналогично. Докажите, что ω_a и ω_b касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64985

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Паскаля	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мокин В.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108205

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Композиции гомотетий	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Терешин Д.А.

Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 65756

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Кунгожин М.

Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

Прислать комментарий Решение

Задача 73537

Темы:	[	Окружности на сфере	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Правильная пирамида	]
	[	Многогранные углы	]
	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ₀ касается всех окружностей γ₁, ..., γ_n; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁ и γ₂, γ₂ и γ₃, ..., γ_n и γ₁. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 330]