Каталог по темам

Задачи

Страница: << 274 275 276 277 278 279 280 >> [Всего задач: 2266]

Задача 111684

Темы:	[	Удвоение медианы	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Богданов И.И.

Сережа нарисовал треугольник ABC и провёл в нем медиану AD. Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы AD и какова длина стороны AC. Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол CAB тупой, а угол DAB острый. Найдите отношение AD : AC (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).

Прислать комментарий

Решение

Задача 111852

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Авторы: Берлов С.Л., Петров Ф., Акопян А.В.

На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M. Прямые, проведённые через M перпендикулярно диагоналям BD и AC, пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB, QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение BM : MC?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115591

Темы:	[	Классические неравенства	]
	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность вписана в равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC = a и AD = b. Точка H – проекция вершины B на AD, точка P – проекция точки H на AB, точка F лежит на отрезке BH, причём FH = AH. Найдите AB, BH, BP, DF и расположите найденные величины по возрастанию.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115913

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Внутри квадрата ABCD взята точка E. Пусть ET – высота треугольника ABE, K – точка пересечения прямых DT и AE, M – точка пересечения прямых CT и BE. Докажите, что отрезок KM – сторона квадрата, вписанного в треугольник ABE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116133

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Мякишев А.Г.

Oколо четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC, Q – из A на DC, R – из D на AB и T – из D на BC. Докажите, что точки P, Q, R и T лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 274 275 276 277 278 279 280 >> [Всего задач: 2266]