ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]      



Задача 64472

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Теорема косинусов ]
[ Теорема Птолемея ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64610

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64614

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64916

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  O – точка пересечения диагоналей, а M – середина стороны BC. Прямые MO и AD пересекаются в точке E. Докажите, что  AE : ED = SABO : SCDO.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111603

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .