Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

   Решение

---

Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC. Прямая H_bH_c пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что  PQ || BC.

   Решение

Страница: << 186 187 188 189 190 191 192 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66244

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Симсона ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC,  O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO.  Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66979

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Описанные четырехугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB>AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ в точке $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PK$ пересекает меньшую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что в четырехугольник $ABDC$ можно вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67059

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107997

Темы:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Правильные многоугольники ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип крайнего ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Даны n точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108122

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Точки P и Q симметричны точке C относительно прямых AB и AD соответственно.
Докажите, что прямая PQ проходит через ортоцентр H треугольника ABD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 186 187 188 189 190 191 192 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями