Каталог по темам

Задачи

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 351]

Задача 111712

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Дана окружность и точка O на ней. Вторая окружность с центром O пересекает первую в точках P и Q. Точка C лежит на первой окружности, а прямые CP, CQ вторично пересекают вторую окружность в точках A и B. Докажите, что AB = PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115923

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 55608

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дана окружность S, точка A на ней и точка H внутри неё. Постройте на окружности такие точки B и C, чтобы точка H была точкой пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 65645

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Крутовский Р.

Точки I_A, I_B, I_C – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из I_A на AC, пересекает перпендикуляр, опущенный из I_B на BC, в точке X_C. Аналогично определяются точки X_A и X_B. Докажите, что прямые I_AX_A, I_BX_B и I_CX_C пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77983

Темы:	[	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

a, b, c и d — длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через S его площадь. Доказать, что

S $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a + b)(c + d ).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 351]