Страница:
<< 50 51 52 53
54 55 56 >> [Всего задач: 351]
Точка
P , лежащая на большей из двух дуг
AB окружности, соединена с
серединой
M меньшей дуги
AB . Хорды
PL и
PM пересекают хорду
AB
соответственно в её середине
K и в некоторой точке
N .
Сравните отрезки
KL и
MN .
Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения
высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и B пересекаются в точке D. Окружность, проходящая через проекции D на прямые BC, CA, AB, повторно пересекает AB в точке C'. Аналогично строятся точки A', B'. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Пусть
a,
b,
c,
d — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника,
S — его площадь. Докажите неравенства:
а) S ≤ ab + cd;
б) S ≤ ac + bd.
в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.
Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.
Страница:
<< 50 51 52 53
54 55 56 >> [Всего задач: 351]
Фильтр
