Страница:
<< 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 222]
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в
точке D, DM — диаметр окружности. Прямая BM пересекает
сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, причём лучи
AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая, проходящая
через середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $BC$, $P$ – ближайшая к $A$ точка пересечения луча $AM$ и вписанной окружности треугольника, $Q$ – дальняя от $A$ точка пересечения луча $AM$ и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке $P$ пересекает $BC$ в точке $X$, а касательная к вневписанной окружности в точке $Q$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Докажите, что $MX=MY$.
На плоскости расположены три окружности S1, S2, S3 радиусов
r1, r2, r3 соответственно — каждая вне двух других, причём
r1 > r2 и
r1 > r3. Из точки пересечения общих внешних касательных
к окружностям S1 и S2 проведены касательные к окружности S3,
а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям S1 и S3
проведены касательные к окружности S2. Докажите, что последние две пары
касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и
найдите её радиус.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу
прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по
направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.
Сможет ли кузнечик попасть в лунку?
Страница:
<< 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 222]