Страница:
<< 52 53 54 55
56 57 58 >> [Всего задач: 1240]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Приведённые квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения f(g(x)) = 0 и g(f(x)) = 0 не имеют вещественных корней.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений f(f(x)) = 0 и g(g(x)) = 0 тоже не имеет вещественных корней.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так,
чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x + 1 или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На доске выписано (n – 1)n выражений: x1 – x2, x1 – x3, ..., x1 – xn, x2 – x1, x2 – x3, ..., x2 – xn, ..., xn – xn–1, где n ≥ 3. Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо (x1 – x2) +
(x2 – x3) Лёша запишет x1 – x3, а вместо (x1 – x2) + (x2 – x1) он запишет 0).
Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45° вокруг любого из её концов.
Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом её концы поменялись местами?
Страница:
<< 52 53 54 55
56 57 58 >> [Всего задач: 1240]
Фильтр
