Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 337]      

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда.)

Прислать комментарий

Решение

На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты $100\times100$ и $1\times1$?

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = AA1 = 12 и AD = 30 . Точка M расположена в грани ABB1A1 на расстоянии 1 от середины AB и на равных расстояниях от вершин A и B . Точка N лежит в грани DCC1D1 и расположена симметрично точке M относительно центра параллелепипеда. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками M и N .

Прислать комментарий

Решение

Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 337]