Каталог по темам

Задачи

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 337]

Задача 109534

Темы:	[	Объем тетраэдра и пирамиды	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]
	[	Площадь сечения	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Вавилов В.

Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.

Прислать комментарий Решение

Задача 111840

Темы:	[	Степень вершины	]
	[	Раскраски	]
	[	Остовы многогранных фигур	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Карпов Д.В.

У выпуклого многогранника одна вершина A имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета хорошей, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из A , покрашены в один цвет.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98162

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Свойства сечений	]
	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Анджанс А.

Число рёбер многогранника равно 100.
а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
в) но не может равняться 100.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110485

[Равногранный тетраэдр]

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Медиана пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180^o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180^o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180^o и два противоположных ребра равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 30432

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Куб	]
	[	Остовы многогранных фигур	]

Сложность: 3-
Классы: 6,7

а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см?
б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы всё же изготовить требуемый каркас?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 337]