Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 79]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 10,11
|
Существует ли такой многогранник и точка вне него, что из этой точки не видно
ни одной из его вершин?
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 10,11
|
У выпуклого многогранника
2
n граней (
n
3
), и все грани
являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых
сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти
красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы
окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы).
В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок
была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в
другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы
полностью.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 10,11
|
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.
(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)
б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.
в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.
г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.
Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 79]
Фильтр
