Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что в остроугольном треугольнике расстояние от любой вершины до соответствующего центра вневписанной окружности меньше чем сумма двух наибольших сторон треугольника.

   Решение

---

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61124

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите равенство:   = tg nα.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61139

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

При каких n многочлен  (x + 1)ⁿ + xⁿ + 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;    б)  (x² + x + 1)²;    в)   (x² + x + 1)³?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61154  [Теорема о трёх центрах подобия]

Темы:   [ Композиции гомотетий ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:     причём в первом случае вектор a параллелен прямой A₁A₂, а во втором случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой A₁A₂ и  k = k₁k₂.  Здесь    обозначает гомотетию с центром в A с коэффициентом k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61197  [Прямая Симсона]

Темы:   [ Прямая Симсона ] [ Геометрия комплексной плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Пусть u – точка на единичной окружности  z = 1  и u₁, u₂, u₃ – основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a₂a₃, a₁a₃, a₁a₂ вписанного в эту окружностьтреугольника a₁a₂a₃.
  а) Докажите, что числа u₁, u₂, u₃ вычисляются по формулам

  б) Докажите, что точки u₁, u₂, u₃ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61277

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Геометрия комплексной плоскости ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что если корни многочлена  f(x) = x³ + ax² + bx + c  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями