Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 135]

Задача 108183

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Стороны AB, BC, CD и DA описанного четырёхугольника ABCD касаются его вписанной окружности в точках K, L, M и N соответственно. Прямая, проведённая через точку C параллельно диагонали BD, пересекает прямые NL и KM в точках P и Q соответственно. Докажите, что CP = CQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108889

Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]
Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC выбраны соответственно точки C₁, A₁ и B₁, причём отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямая, проходящая через точку B₁ параллельно AA₁, пересекает отрезок CC₁ в точке B₂. Прямая, проходящая через точку C₁ параллельно AA₁, пересекает отрезок BB₁ в точке C₂. Докажите, что прямые BC, B₁C₁ и B₂C₂ пересекаются в одной точке или параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108926

Темы:	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В неравнобедренном треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и CC₁, кроме того, отмечены середины K и L сторон AB и BC соответственно. На прямую CC₁ опущен перпендикуляр AP, а на прямую AA₁ – перпендикуляр CQ. Докажите, что прямые KP и LQ пересекаются на стороне AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110801

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Вписанная окружность касается сторон BC, AC и AB треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точки A₂, B₂ и C₂ – центры окружностей, вписанных в треугольники соответственно AB₁C₁, BA₁C₁ и CA₁B₁ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115328

Темы:	[	Замечательное свойство трапеции	]
Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть BL – биссектриса треугольника ABC. Внутри треугольника BLC нашлась такая точка P, что ∠BPC = 90° и ∠LPC + ∠LBC = 180°. Точка O – центр описанной окружности треугольника LPB. Докажите, что прямые CO, BL и AM, где M – середина стороны BC, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 135]