В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.

   Решение

Уравнение  x² + px + q = 0  имеет корни x₁ и x₂. Напишите уравнение, корнями которого будут числа y₁, y₂ равные:

а)       б)       в)       г)  

   Решение

Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E;AD - биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.

   Решение

Две окружности радиусов r и R с центрами в точках O₁ и O касаются внутренним образом в точке K. В точке A окружности радиуса r проведена касательная, пересекающая окружность радиуса R в точках B и C. Известно, что AC : AB = p и отрезок AC пересекает отрезок OK. Определите:

а) при каких условиях на r, R и p возможна такая геометрическая конфигурация;

б) длину отрезка BC.

   Решение

По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10\%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.

   Решение

Периметр прямоугольника равен 40. Какой из таких прямоугольников имеет наибольшую площадь?

   Решение

Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.

   Решение

Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$.

а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?

б) Найдите все возможные количества различных длин.

   Решение

В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?

   Решение

Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

   Решение

Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы три проведённые окружности имели в точках пересечения взаимно перпендикулярные касательные.

   Решение

Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

   Решение

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

   Решение

Параллельные стороны трапеции равны 25 и 4, а непараллельные – 20 и 13. Найдите высоту трапеции.

   Решение

Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Формула Герона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Параллельные стороны трапеции равны 25 и 4, а непараллельные – 20 и 13. Найдите высоту трапеции.

Подсказка

Проведите через вершину меньшего основания трапеции прямую, параллельную одной из боковых сторон, и найдите высоту отсечённого треугольника.

Решение

  Из вершины C меньшего основания BC трапеции ABCD опустим перпендикуляр CK на большое основание AD. Пусть  AD = 25,  BC = 4,  AB = 20,
CD = 13.
  Проведём через точку C прямую, параллельную боковой стороне AB, пересекающую AD в точке M. Тогда CK – высота треугольника MCD,
CM = AB = 20, MD = AD – AM = AD – BC = 21.
  Обозначим  KD = x.  Тогда  MK = 21 – x,  20² – (21 – x)² = CK² = 132 – x²  ⇔  (21 – x)² – x² = 20² – 13²  ⇔  21(21 – 2x) = 7·33.
  Отсюда  x = 5,  CK² = CB² – BK² = 144.

Ответ

12.

Замечания

Высоту CK можно также найти из треугольника MCD, применив формулу Герона.

Источники и прецеденты использования