Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 22 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Существует ли треугольник со сторонами a = 7 и b = 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

Вниз   Решение

Докажите, что если среди полученных фигур есть p-звенная и q-звенная, то p + q$ \le$n + 4.

ВверхВниз   Решение

Автор: Богданов И.И.

К натуральному числу  a > 1  приписали это же число и получили число b, кратное a². Найдите все возможные значения числа  b/a².

ВверхВниз   Решение

Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты.
Могло ли у него в итоге получиться выражение  x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1?

ВверхВниз   Решение

Авторы: Гальперин Г.А., Богданов И.И.

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.

ВверхВниз   Решение

Найдите натуральное число вида  n = 2x3y5z,  зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть – на 35 и пятая часть – на 42 делителя меньше, чем само число.

ВверхВниз   Решение

Автор: Богданов И.И.

Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что  AD = BC.  Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.

ВверхВниз   Решение

Даны две точки A и B. Две окружности касаются прямой AB (одна — в точке A, другая — в точке B) и касаются друг друга в точке M. Найдите ГМТ M.

ВверхВниз   Решение

  а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
  б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?

ВверхВниз   Решение

Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен 120o . Найдите площадь треугольника.

ВверхВниз   Решение

Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности. Постройте точку X окружности так, чтобы хорды AX и BX высекали на хорде CD отрезок EF, имеющий данную длину a.

ВверхВниз   Решение

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 10, 13, 13. Площади боковых граней соответственно равны 150, 195, 195. Найдите высоту пирамиды.

ВверхВниз   Решение

В квадрате ABCD площади 1 сторона AD продолжена за точку D и на продолжении взята точка O,  OD = 3.  Из точки O проведены два луча. Первый пересекает отрезок CD в точке M и отрезок AB в точке N, второй пересекает отрезок CD в точке L и отрезок BC в точке K,  ON = a,  ∠BKL = α.  Найдите площадь многоугольника BKLMN.

ВверхВниз   Решение

В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием высоты, построены полуокружности по одну сторону с данным треугольником. Найдите отрезки катетов, заключённые внутри полукругов.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

В маленьком городе только одна трамвайная линия. Она кольцевая, и трамваи ходят по ней в обоих направлениях. На кольце есть остановки Цирк, Парк и Зоопарк. От Парка до Зоопарка путь на трамвае через Цирк втрое длиннее, чем не через Цирк. От Цирка до Зоопарка путь через Парк вдвое короче, чем не через Парк. Какой путь от Парка до Цирка – через Зоопарк или не через Зоопарк – короче и во сколько раз?

ВверхВниз   Решение

Автор: Богданов И.И.

Шахматная фигура может сдвигаться на 8 или 9 клеток по горизонтали или вертикали. Запрещается ходить на одну и ту же клетку дважды.
Какое наибольшее количество клеток может обойти эта фигура на доске 15×15? (Начать обход разрешается с любой клетки.)

ВверхВниз   Решение

Автор: Готман Э.Г.

Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CD, и в треугольники ACD и BCD вписаны окружности с центрами P и Q. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает катеты AC и BC в точках M и N, а высоту CD — в точке K. Докажите, что:

а) треугольники CMN и CBA подобны;

б) точки C, M, N, P и Q лежат на окружности с центром K, радиус которой равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольника, образует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник. Докажите, что точка O равноудалена от вершин этого многоугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Можно ли подобрать такие два натуральных числа X и Y, что Y получается из X перестановкой цифр, и  X + Y = 9...9  (1111 девяток)?

ВверхВниз   Решение

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

ВверхВниз   Решение

Основание пирамиды – квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 45o . Среднее по величине боковое ребро равно l . Найдите объём и полную поверхность пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Сфера радиуса 4 с центром в точке Q касается трех параллельных прямых в точках F, G и H. Известно, что площадь треугольника QGH равна 4$ \sqrt{2}$, а площадь треугольника FGH больше 16. Найдите угол GFH.

Вверх   Решение

Задача 87273
Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
[ Построения на проекционном чертеже ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие


Сфера радиуса 4 с центром в точке Q касается трех параллельных прямых в точках F, G и H. Известно, что площадь треугольника QGH равна 4$ \sqrt{2}$, а площадь треугольника FGH больше 16. Найдите угол GFH.


Подсказка


Докажите, что точки F, G и H лежат в плоскости, проходящей через центр данной сферы перпендикулярно данным прямым. Проведите сечение сферы этой плоскостью и рассмотрите два случая взамного расположения точек Q и F относительно прямой GH.


Решение


Пусть прямая a касается данной сферы в точке F. Проведем через точку Q плоскость $ \alpha$, перпендикулярную прямой a. Если прямая a пересекает эту плоскость в точке F1, то QF1 $ \perp$ a, а т.к. прямая, касающаяся сферы, перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания, то QF $ \perp$ a. Из единственности перпендикуляра, проведенного к данной прямой через данную точку, следует, что точка F1 совпадает с точкой F. Поскольку данные прямые параллельны, плоскость $ \alpha$ перпендикулярна каждой из них. Аналогично докажем, что плоскость $ \alpha$ проходит также через точки G и H.

Треугольник FGH вписан в окружность пересечения сферы с плоскостью $ \alpha$. Пусть S(FGH) = S. По условию

4$\displaystyle \sqrt{2}$ = S(QGH) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$QG . QH . sin$\displaystyle \angle$GQH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$4 . 4 . sin$\displaystyle \angle$GQH = 8 . sin$\displaystyle \angle$GQH,

откуда sin$ \angle$GQH = $ \sqrt{2}$/2. Значит, либо $ \angle$GQH = 45o, либо $ \angle$GQH = 135o.

Пусть $ \angle$GQH = 45o. Если точка F лежит на большей из дуг GH, то площадь треугольника FGH максимальна, если точка F совпадает с точкой A, лежащей на серединном перпендикуляре к хорде GH, т.е. на диаметре AB окружности, перпендикулярном хорде GH. Если C - середина этой хорды, то

S$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$GH . AC < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$GH . AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{QG^{2} + QH^{2} - 2\cdot QG\cdot QH\cdot \cos 45^{\circ }}$ . AB =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{16 + 16 - 2\cdot 16\cdot \sqrt{2}/2}$ . 8 = 16$\displaystyle \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ < 16 . 1 = 16,

что противоречит условию. Если точка F лежит на меньшей из дуг GH, то S(FGH)$ \le$S(BGH) < S(AGH) < 16, что также противоречит условию.

Пусть $ \angle$GQH = 135o. Тогда площадь сектора с углом GQH, равным 135o, составляет три восьмых от площади круга радиуса 4, т.е. равна 6$ \pi$. Если точка F лежит на меньшей из дуг GH, то площадь треугольника FGH меньше площади сегмента, ограниченного этой дугой, т.е.

S < 6$\displaystyle \pi$ - S(QGH) = 6$\displaystyle \pi$ - 4$\displaystyle \sqrt{2}$ < 16

(6$\displaystyle \pi$ - 4$\displaystyle \sqrt{2}$ < 16 $\displaystyle \Leftarrow$ 6$\displaystyle \pi$ < 4$\displaystyle \sqrt{2}$ + 16 $\displaystyle \Leftarrow$ 3$\displaystyle \pi$ < 2$\displaystyle \sqrt{2}$ + 8 $\displaystyle \Leftarrow$ 3$\displaystyle \pi$ < 10 < 2$\displaystyle \sqrt{2}$ + 8),

что противоречит условию.

Если точка F лежит на большей из дуг GH, то S может быть больше 16. В самом деле, пусть F совпадает с серединой A большей из дуг GH. Тогда

$\displaystyle \angle$AQG = $\displaystyle \angle$AGH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(369o - 135o) = 112.5o < 120o,

поэтому

S(AGH) = S(QGH) + 2 . S(AQH) = 4$\displaystyle \sqrt{2}$ + 4 . 4 . sin 112.5o >

> 4$\displaystyle \sqrt{2}$ + 4 . 4 . sin 120o = 4$\displaystyle \sqrt{2}$ + 8$\displaystyle \sqrt{3}$ > 4 + 8 . 1.5 = 4 + 12 = 16.

Таким образом, $ \angle$GQH = 135o, а точка F лежит на большей из дуг GH. Следовательно, $ \angle$GFH = $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$GQH = $ {\frac{1}{2}}$135o = 67.5o.


Ответ

67.5o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .